高中数学公式大全

提示

md 文档中的数学公式都是使用 LaTeX 语法实现的，可以使用 ProcessOn 提供的公式生成工具自动生成。

一、代数

一元二次方程求根公式：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

判别式：

$$\Delta = b^2 - 4ac \quad (\Delta>0 \text{两实根}, \Delta=0 \text{重根}, \Delta<0 \text{无实根})$$

平方差：

$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$

立方和/差：

$$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

指数法则：

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$$

对数性质：

$$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$

$$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$$

换底公式：

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

等差数列：

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

等比数列：

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

$$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)$$

平方和：

$$\sum\_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

二、三角函数

勾股恒等式：

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

$$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$

和差公式：

$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$

$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$

正弦定理:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \quad (R \text{为外接圆半径})$$

余弦定理:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

三、解析几何

• 斜截式：

  $$y = kx + b$$

• 点到直线距离：

  $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

• 圆的标准方程：

  $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

• 椭圆：

  $$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)$$

四、立体几何

• 柱体：

  $$V = S\_{\text{底}} \cdot h$$

• 锥体：

  $$V = \frac{1}{3} S\_{\text{底}} \cdot h$$

• 球体：

  $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

五、排列组合、方差

排列数：

$$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$$

组合数：

$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

方差：

$$s^2 = \frac{1}{n} \sum\_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$$

六、常用等价无穷小

• 三角函数类

$$\begin{aligned} \sin x &\sim x \\ \tan x &\sim x \\ \arcsin x &\sim x \\ \arctan x &\sim x \\ 1 - \cos x &\sim \frac{1}{2}x^2 \\ \end{aligned}$$

• 指数对数类

$$\begin{aligned} e^x - 1 &\sim x \\ a^x - 1 &\sim x\ln a \quad (a > 0, a \neq 1) \\ \ln(1 + x) &\sim x \\ \log_a(1 + x) &\sim \frac{x}{\ln a} \quad (a > 0, a \neq 1) \\ \end{aligned}$$

• 幂函数类

$$\begin{aligned} (1 + x)^a - 1 &\sim a x \quad (a \text{为常数}) \\ \sqrt[n]{1 + x} - 1 &\sim \frac{x}{n} \\ \end{aligned}$$

• 其他重要等价

$$\begin{aligned} \tan x - \sin x &\sim \frac{1}{2}x^3 \\ x - \sin x &\sim \frac{1}{6}x^3 \\ \end{aligned}$$

使用示例

乘法替换

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \tan x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2} = 1$$

复合函数替换

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

注意：加减法替换需满足 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'} \neq 1$，否则需要使用泰勒展开。

泰勒展开近似

$$\begin{aligned} \sin x &\approx x - \frac{x^3}{6} \\ \tan x &\approx x + \frac{x^3}{3} \\ \cos x &\approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \\ e^x &\approx 1 + x + \frac{x^2}{2} \\ \end{aligned}$$

七、导数与微分

导数可理解为曲线切线的斜率（自变量趋近于0）；微分可理解为切线纵坐标的变化量；

• 导数的定义

  $$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$

  导数有多多种记作方式: $f'(x)$ 或 $y'|_{x=x_{0}}$ 或 $\frac{\rm dy}{\rm dx}|_{x=x_{0}}$ 或 $\frac{\rm df(x)}{\rm dx}|_{x=x_{0}}$

  求曲线在 $(x_0, y_0)$ 处切线的斜率，就等效于求 $f'(x_0)$ 的值。

  导数大于0，原函数单调递增；导数小于0，原函数单调递减；

• 微分的定义

  设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若存在常数 $A$，使得函数的增量 $\Delta y$ 可表示为 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \Delta x + o(\Delta x)$，其中 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小（见提示）

  提示

  高阶无穷小表示更快趋近于0，例如当 $x\to0$ 时，$x^2$ 是比 $x$ 高阶的无穷小

  在点 $x_0$ 处，这意味着当 $\Delta x\to0$ 时，$o(\Delta x)$ 部分小到可以忽略，从而可以用线性部分 $A \Delta x$ 来近似地表示总变化量 $\Delta y$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，函数在点 $x_0$ 处的微分记作：

  $$dy|_{x=x_{0}} = A \Delta x \text{ 或 } dy|_{x=x_{0}} = A dx$$

• 导数与微分的关系

  导数和微分十分相似，但不完全等价。函数可导必可微，可微必可导。

  微分和导数的关系：$dy=f'(x)dx$，因变量的增量(微分) = 导数 * 自变量增量。

  求微分示例

  $$\text{求函数}y = e^xsinx \text{在} x = \pi \text{处的微分。先求导数 } y'=e^xsinx(sinx+xcosx) \text{， 则微分} dy = e^xsinx(sinx+xcosx)dx$$

  $$\text{所以} \left. dy\right|_{x=\pi} = - \pi dx \text{，即函数} y = e^xsinx \text{在} x = \pi \text{处的微分为} - \pi dx$$

  如果 $x = \pi$ 处，若自变量增量为2，则能很方便的求出因变量的增量 $dy = -2 \pi$ ，简而言之，导数和微分很相似（写法只有细微差别），只是数学角色不同

• 常见函数的导数

$$(C)' = 0$$

$$(x)' = 1$$

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

$$(\sin x)' = \cos x$$

$$(\cos x)' = -\sin x$$

$$(e^x)' = e^x$$

$$(a^x)' = a^xln a$$

$$(ln x)' = \frac{1}{x}\$$

$$(\log_a x)' = \frac{1}{xln a}\$$

$$([u(x)v(x)])' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

$$[ \frac{u(x)}{v(x)}\ ]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}\$$

$$[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)$$

$$(tan x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

反函数的导数 = 1 / 原函数的导数

诺必达法则

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} , (\text{a 也可以为 } \infty)$$

诺必达法则成立必须满足下面三个条件

1. 形式要求：极限必须为 $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ = $\lim\limits_{x \to a}g(x)$ = 0(或 $\infty$)。
   
2. 可导性：$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$。
   
3. 极限存在：$\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 必须存在或为 $\pm\infty$。

八、不定积分

不定积分是与微分互逆的运算，简单来说，它表示求一个导数的原函数，如

$$(\sin x + C)' = \cos x$$

其中的 sin x + C 就是一簇原函数。几何意义表示一族斜率相同的曲线，通过常数 C 实现垂直平移。下面是不定积分的定义： 若 F(x) 满足：

$$F'(x) = f(x)$$

则 f(x) 的不定积分表示为

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C \text{，例如：}\int 3x^2 \, dx = x^3 + C$$

提示

“不定” 可理解为原函数不唯一，即存在多个原函数，求不定积分会得到一簇原函数。

线性性

$$\int \left[ a f(x) + b g(x) \right] dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx \quad (a,b \in \mathbb{R})$$

不定积分和微分关系

$$\frac{d}{dx} \left( \int f(x) dx \right) = f(x), \quad \int F'(x) dx = F(x) + C$$

常用基本不定积分公式

幂函数积分

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

指数函数积分

$$\int e^x dx = e^x + C$$

$$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a\neq 1)$$

三角函数积分

$$\int \sin x dx = -\cos x + C$$

$$\int \cos x dx = \sin x + C$$

$$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$$

$$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$

反三角函数积分

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C \quad (|x|<1)$$

分式积分

$$\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$$

$$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

提示

所有不定积分结果必须加常数 C ；对数积分中注意绝对值符号；积分前先判断被积函数定义域

九、定积分

求曲线 $y = f(x)$ 在 $x \in [a,b]$ 的定积分可以理解为求曲边梯形的面积，即求曲线与直线 $x=a,x=b\text{ 以及 } x$ 轴围成的面积。

将 $x \in [a,b]$ 任意分成 n 个小区间，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，第 i 个小区间的面积约等于 $f(\xi_i)\Delta x_i$，把所有小矩形面积累加，得到整个曲边梯形的近似值（黎曼和）： $S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$

令 $\lambda$ 表示所有小区间长度中的最大值，当 $\lambda \to 0$ 时（意味着最大的那个小区间长度都趋近于零，保证整个区间 [a, b] 被均匀地、无限细致地进行分割），若黎曼和 $S_n$ 的极限存在，则称该极限值为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作：

$$\int_{a}^{b} f(x) \rm dx = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$

• 基本性质

  $$\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

  $$\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$

  $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$$

  $$\text{若在 } [a, b] \text{ 上 } f(x) \ge 0, \text{ 则 } \int_{a}^{b} f(x) \, dx \ge 0$$

十、微积分基本定理

微积分基本定理揭示了微分和积分之间是互逆的关系。求微积分可以结合函数图像求解。

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_{a}^{b} ,\text{ 其中 } F'(x) = f(x)$$

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